Question

函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1,x2属于[a,b]，有f((x1+x2)/2)<=1/2[f(x1)+f(x2)], 则称f(x)在[a,b]

函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1,x2属于[a,b]，有f((x1+x2)/2)<=1/2[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出以下命题：
①f(x2）在[1,根号3]上具有性质P ②若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1,x属于[1,3]；
判断它们的真假【求详细过程】

Answer 1

①不正确
例如f(x)=x，令x1=1,x2=3^0.5，f(x1)=1,f(x2)=根号3
f((x1+x2)/2)=【（1+根号3）/2】^2=（2+根号3）/2>1/2[f(x1)+f(x2)]
②正确
f(x)在x=2处取得最大值1，固
对任意x1,x2属于[1,3]，有f((x1+x2)/2)<=1/2[f(x1)+f(x2)]<=1,所以
对任意x1属于[1,3]，有f(x1)<=1，而
1=f(2)=f((x1+3-x1)/2)<=1/2[f(x1)+f(3-x1)]<=1，固
f(x)=1,x属于[1,3]。

Answer 2

这题主要考察对那个不等式的理解。
这个不等式说明：函数在 [a，b] 上是向下凸的。
1）是 f(x)=x^2 么？？？如果是，则正确。
2）由于函数下凸，因此最大值在两个端点处取得。而已知函数在中间取最大值，说明函数是常值函数。正确。