Question

函数f(x)在【a,b】上有定义，若对任意X1，X2∈【a,b】，有f[(X1+X2)/2]≤[f(X1)+f(X2)]/2,则称f(x)在

【a,b】上具有性质P，设f(x)在【1，3】上具有性质P，现在给处下命题
①f(x²）在【1，3】上具有性质
②若f(x)在x=2出去的最大值为1，这f(x)=1,x∈【1,3】
③f(x)在【1,3】上的图像是连续不断的
④对任意X1，X2，X3，X4∈【1，3】，有f[(X1+X2+X3+X4)/4]≤[f(X1)+f(x2)+f(X3)+f(x4)]/4
其中真命题的序号是

Answer 1

解：在①中，反例：f（袜余蚂x）=
(1
2
)x，1≤x＜3

2，x=3

在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，告埋故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=-x2在[1，
3
]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（
x+(4-x)
2
）≤
1
2
[f(x)+f(4-x)]，
∴
f(x)+f(4-x)≥2
f(x)≤f(x)max=f(2)=1
f(4-x)≤f(x)max=f(2)=1

，
故f（x）=1，
∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，毁好对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，
有f(
x1+x2+x3+x4
4
)=f(
1
2
(x1+x2)+
1
2
(x3+x4)

2
)
≤
1
2
[f(
x1+x2
2
)+f(
x3+x4
2
)]
≤
1
2
[
1
2
(f(x1 )+f(x2))+
1
2
(f(x3)+f(x4))]
=
1
4
[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，

∴f(
x1+x2+x3+x4
4
) ≤
1
4
[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
故④成立．
故选③④

Answer 2