Question

一道高中数学难题

已知抛物线y平方=2px（p>0），任意一条直线过点M（a，0）交抛物线于P、Q两点，并且有1/MP平方+1/MQ平方为定值，求a值
呃……希望能大致写出过程或给出详细的方法，谢谢各位

Answer 1

此题用特殊直线法解决。（这句话出来之后它就不是难题了哦）
由题设。分2种情况讨论。
（1）a<0
此种情况，以X轴为特殊直线即直线y=0（过M点）为例。此时P,Q重合。1/MP平方+1/MQ平方=2/a平方。
但对任意过M点直线y=k(x-a)(k不等于0)，MP，MQ都比y=0时来得大。（画图即知）故1/MP平方+1/MQ平方不为固定值。舍弃。
（2）a>0
同理，作2条过M点的特殊直线。我们取直线y=0和x=a。
y=0时，1/MP平方+1/MQ平方=2/a平方
x=a时，代入抛物线得y=+-根号2pa；此时MP=MQ=根号2pa
1/MP平方+1/MQ平方=1/pa
2种情况下1/MP平方+1/MQ平方值相同。故a=2p

Answer 2

1.垂直时,1/|MP|^2+1/|MQ|^2=1/pa
2.点P→∞时,1/|MP|^2+1/|MQ|^2=1/a^2
则p=a

Answer 3

a=p