Question

一道数列数学题

已知数列｛an｝的前四项依次为1，1+2，1+2+2²，1+2+2²+2³.
1）写出该数列的一个通项公式
2）问该数列从第几项起大于2006
3）求证：对n∈N*，总有an+1=2an+1 (第一个n+1是项数，第二个项数是n，也就是左边是一个项，右边是一个项+1）

Answer 1

1、此数列的第n项是an=1＋2＋2²＋2³＋…＋2^(n－1)=2^n－1。
2、2^n－1>2006，即2^n>2007，n>10，即n从11开始满足要求。
3、a(n＋1)=2^(n＋1)－1，2an＋1=2×[2^(n－1)－1]＋1=2^(n＋1)－1=a(n＋1)。

Answer 2

1. a1=1
a2=3
a3=7
……
an=1+2+2²+2³+……+2^n=(2^n)-1
2. (2^n)-1>2006
2^n>2007
2>10
3.
a[n+1]=2^(n+1)-1
(2an)+1=2*[(2^n)-1]+1=2^(n+1)-1
an+1=2an+1