Question

已知函数f(x)=x^2-4x+a+3

若y=f（x）在【-1，1】上存在零点，求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x^2-4x+a+3,g(x)=mx+5-2m,当a=0时，对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2）成立，求m的范围。

若函数y=f（x）（x∈【t,4】）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值，不存在说明理由

Answer 1

算得f(2)=a-1 f(1)=a f(4)=a+3
g(1)=5-m g(4)=5+2m
因此f(x)∈[a-1,a+3]
m>0,g(x)∈[5+2m,5-m]
m>0,g(x)∈[5-m,5+2m]
5-m<=-1,5+2m>3 6<=m
m<0 g(x)∈[5+2m,5-m]
5+2m<=-1,5-m>=3
m<=-3

f(4)=a+3 f(2)=a-1
若t=2，7-2t=3=f（4）-f（2）
若t>2,假设也存在，则t^2-4t+a+3-(a+3)=2t-7
t=3+√2 3-√2
均不符合条件

t>2时

若2>t>=0,7-2t>3,D=3
因此不存在
当t<0时

t^2-4t+a+3-(a-1)=7-2t
t=-1
一共有两个-1和2

Answer 2

算得f(2)=a-1
f(1)=a
f(4)=a+3
g(1)=5-m
g(4)=5+2m
因此f(x)∈[a-1,a+3]
m>0,g(x)∈[5+2m,5-m]
m>0,g(x)∈[5-m,5+2m]
5-m<=-1,5+2m>3
6<=m
m<0
g(x)∈[5+2m,5-m]
5+2m<=-1,5-m>=3
m<=-3
f(4)=a+3
f(2)=a-1
若t=2，7-2t=3=f（4）-f（2）
若t>2,假设也存在，则t^2-4t+a+3-(a+3)=2t-7
t=3+√2
3-√2
均不符合条件
t>2时
若2>t>=0,7-2t>3,D=3
因此不存在
当t<0时
t^2-4t+a+3-(a-1)=7-2t
t=-1
一共有两个-1和2

Answer 3

令：x²-4x+a+3=0，得a=-x²+4x-3，求出右边函数在[-1,1]上的值域为[-8,0]，从而当-8≤a≤0时，原函数在[-1,1]上有零点。

Answer 4

二次函数控制根的范围的解法就行了
a∈(-8,0)

Answer 5

(1） 因为f(x)的对称轴为x=2，所以在【-1，1】时单调递减的，若满足存在零点，则f(-1)>=0且f(1）<=0解得a的范围【-8,0】
（2)因为f(x)=g(x)所以整理得m=x-2-6/(x-2) x的取值范围[1,4]
当x在[1,2)时，此时m是单调递增的，所以x=1去最小值5，x=2时为无穷大。
当x在（2,4]时，此时m是单调递减的，所以当x=2是最小值负无穷大，x=4时是最大值-1。
所以m的取值范围[5,+无穷）或（-无穷,-1]
(3)已知f(x)的对称轴为x=2，所以应分区间讨论，4>t>2 ,t=2 ,0<t<2 , t=0 ,t<0
此处我只讨论一个，其它类似。
当t>2时，此区间函数为单调增函数，所以最小值为f(t)=t^2-4t+a+3，最大值f(4)=a+3
得到值域f(4)-f(t)=4t-t^2=7-2t,解出t（不会编辑了，有两个解，按t的范围取舍一下就可以了）