Question

已知：a.b是正实数，n是正整数，n不等于1，求证 a^n+b^n>=a^(n-1) b+a b^(n-1)

Answer 1

左边-右边=(a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))
当a=b时，显然=0。
当a≠b时，(a-b)与(a^(n-1)-b^(n-1))总是同号，所以为正.

Answer 2

证：
a^n+b^n-a^(n-1)b-ab^(n-1)
=a[a^(n-1)-b^(n-1)]-b[a^(n-1)-b^(n-1)]
=(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]
a>b时，a-b>0 a^(n-1)>b^(n-1)，(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]>0 a^n+b^n>a^(n-1)b+ab^(n-1)
a=b时，a-b=0 a^(n-1)-b^(n-1)=0，(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]=0 a^n+b^n=a^(n-1)b+ab^(n-1)
a<b时，a-b<0 a^(n-1)-b^(n-1)<0，(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]>0 a^n+b^n>a^(n-1)b+ab^(n-1)
综上，得a^n+b^n≥a^(n-1)b+ab^(n-1)，当a=b时取等号。