Question

初中几何证明题

已知：如图，正方形ABCD中，把含有45°的三角板的45°顶点与A重合，三角板的两边与正方形的对角线BD交于M、N。求线段BN、MN、ND的关系并证明。

Answer 1

解：在正方形ABCD的外侧作角BAH=角DAN, 并在AH上截取AH=AN. 连结BH. MH
则因为 ABCD是正方形，AB=AD
所以三角形ABH全等于三角形ADN
所以 BH=ND, 角ABH=角ADN=45度
所以 角MBH=90度
在直角三角形MHB中 由勾股定理 得：MH^2=BM^2+BH^2
因为ABCD是正方形且角MAN=45度
所以 角DAN+角MAB=45度
因为 角DAN=角BAH (作的辅助线）
所以 角MAH=45度 所以 角MAH=角MAN=45度
又因为 AH=AN, AM=AM
所以 三角形AMH全等于三角形AMN
所以 MH=MN
所以 MN^2=BM^2+ND^2

追问

不用勾股定理可以做吗？

追答

不用勾股定理当然也可以做，只是繁一点。因为勾股定理是由直角三角形中的射影定理推导也来的。也就是说：你可以用射影定理来做。问题是你知道射影定理吗？

Answer 2

解：设角BAN的度数为x,则角ANB为45+x，角AND为45+45-x=90-x.
因为在三角形AMN中，内角和为180.