Question

设数列a1，a2.....an......中的每一项都不为0.求证：若｛an｝为等差数列，则对任何n属于N*，都有

1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1

Answer 1

设数列a1，a2，a3...,an,...中的每一项都不为0。证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n属于N，都有1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=n/a1*an+1

必要性很容易证明：将an=（n-1）d+a1带入上式即可。
充分性：
1/a1*a2+1/a2*a3+... 1/a（n-1）*an+1/an*an+1=n/a1*an+1 …………………①
1/a1*a2+1/a2*a3+...1/a（n-1）*an=（n-1）/a1*an …………………②
①－②得：a1=nan-（n-1）an+1
同理：a1=（n-1)-（n-2）an
所以2（n-1）an=（n-1）an-1 +an+1
即2an=an-1+an+1
所以必要性也成立 即命题成立 证毕。

Answer 2

设公差为d则an=a1+nd

Answer 3

1/a1*a2+1/a2*a3+...1/an*an+1=1/d[1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...1/an-1/an+1]=1/d[1/a1-1/an+1]
=nd*1/d*1//a1*a(n+1)=n/a1*an+1

Answer 4

1/(an*an+1)=(1/an-1/an+1)/d; d为等差。将证明式的左边展开=（1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+....-1/an+1)/d=（1/a1-1/an+1）/d=（an+1-an)/(an*an+1*d)=n*d/(an*an+1*d)=n/(an*an+1)
你写的证明式右边应该 写错了吧。加个括号咯

Answer 5

1/a1-1/a2=a1-a2/a1a2=d/a1a2
原式=1/1(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3.......+1/an-1/an+1)
=1/d(1/a1-1/an+1)
=1/d*nd/a1*an+1
=n/a1*an+1
你先写在纸上看起来比较清楚，，，我也是个学生