Question

如图(1),点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM

（1）判断CN、DM的关系，并说明理由
（2）设CN、DM的交点为H，连接BH，如图二，求证△BCH是等腰三角形
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A’DM，延长MA’交DC的延长线于点E，如图三，求tan∠DEM
是交DC的延长线于点E啊！图插不上去。。。

Answer 1

解：
（1）判断CN、DM的关系，并说明理由
显然三角形ADM≌三角形DNC
所以角AMD＝角DNC，CN＝MD
角AMD＋角ADM＝90度＝角ADM＋DNC＝90度
所以角NHD＝90度
所以CN、DM互相垂直且相等

（2）设CN、DM的交点为H，连接BH，如图二，求证△BCH是等腰三角形
连接BN，则NB＝CN，即三角形BCN为等腰三角形
三角形CND∽三角形CDH
CH/DC=DC/NC，即CH/BC=BC/NC
角NCB为公共角
所以三角形NBC∽三角形BCH
所以三角形BCH也为等腰三角形

（3）将△ADM沿DM翻折得到△A’DM，延长MA’交DC的延长线于点E，如图三，求tan∠DEM ，
题目有错，将△ADM沿DM翻折得到△A’DM，延长MA’好像不能于DC相交，而是与BC相交于E
设正方形的边长＝a
因为角AMD＝角EMD，则有∠BME＝2∠ADM
cos∠ADM=AD/MD=a/√[a^2+(a/2)^2]=2√5/5
cos∠BME=cos2∠ADM=2cos^2∠ADM-1=3/5
cos∠BME=MB/ME=a/2ME
ME=5a/6
则A'E=ME-MA'=5a/6-a/2=a/3
因为DA'=a
所以tan∠DEM ＝DA'/A'E=a/a/3=3

Answer 2

（1）判断CN、DM的关系，并说明理由
显然三角形ADM≌三角形DNC
所以角AMD＝角DNC，CN＝MD
角AMD＋角ADM＝90度＝角ADM＋DNC＝90度
所以角NHD＝90度
所以CN、DM互相垂直且相等

（2）设CN、DM的交点为H，连接BH，如图二，求证△BCH是等腰三角形
连接BN，则NB＝CN，即三角形BCN为等腰三角形
三角形CND∽三角形CDH
CH/DC=DC/NC，即CH/BC=BC/NC
角NCB为公共角
所以三角形NBC∽三角形BCH
所以三角形BCH也为等腰三角形
3）、∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，
解得A′E=3k，
∴tan∠DEM=A′D：A′E=4/3．

Answer 3

分析：（1）CN=DM，CN⊥DM，由于点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，所以AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN，由此证明
△AMD≌△DNC，然后利用全等三角形的性质证明 CN=DM，CN⊥DM；
（2）如图，延长DM、CB交于点P．
由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA，而∠A=∠MBP，MA=MB，由此证明△AMD≌△BMP，然后利用全等三角形的性质即可证明题目结论；
（3）由AB∥DC，得到∠EDM=∠AMD=∠DME，接着得到EM=ED，设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，那么DE=EA′+2k．
而在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，由此可以得到关于A′E用k表示的结论，然后利用三角函数的定义即可求解．
证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，
∴△AMD≌△DNC，
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；（3分）

（2）延长DM、CB交于点P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
∵MA=MB，
∴△AMD≌△BMP，
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形；

（3）∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，
∴（4k）2+A′E2=（EA′+2k）2，
解得A′E=3k，
∴tan∠DEM=A′D：A′E=

4
3
．（10分）
点评：此题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义，综合性比较强，要求学生对于这些知识点比较熟练才能很好解决问题．

Answer 4

因为只有第三题错，所以只回答第三题~
（3）、∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，
解得A′E=3k，
∴tan∠DEM=A′D：A′E=4/3．

Answer 5

没看到图，

Answer 6

第一问，垂直且相等