Question

一道我认为很难的初三数学题，希望大家能帮忙想一下 谢谢！

如图，二次函数y=-0.5x²+c的图像经过点D（-根号3，4.5），与x轴交于AB两点 1、设点C为该二次函数的图像在X轴上方一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，求证线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式 2、设点PQ为该二次函数的图像在X轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q使△AQP全等△ABP？证明你的猜想。 ps:各位一定要帮忙解答 因为本人级不够无法发图 所以+Q825708453看图 一定一定一定要帮忙 ， 因为周一就要考试了╯﹏╰

Answer 1

27.解：
(1)
直接给出解析式：
y=-x^2/2+6
A点坐标(-2根号3,0）
B点坐标(2根号3,0）
过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
∵AC 分四边形ABCD相等，即：S△ABC=S△ADC
∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM 即AC平分BD
∵M是BD的中点 ∴M（根号3/2,9/4 ）
设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
∴ -2根号3*k+b=0
根号3/2*k+b=9/4
解得: k=3根号3/10 b=9/5
∴直线AC的解析式为 y=3根号3/10+9/5.

(2)存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，
易得AN= 4根号3，于是以A点为圆心，AB=4根号3为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，
连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P
，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

ps:题目不难，不过似乎有过多的高中解析几何的味道，有超纲的嫌疑~

追问

为什么M是BD中点，就能求出M的坐标呢

追答

这是中点坐标公式
D（-根号3，4.5）
B点坐标(2根号3,0）
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2

Answer 2

y=-0.5x²+c的图像经过点D（-根号3，4.5）
由此知道，c=6，A(-2*根号3，0)，和B(2*根号3，0)

设AC，BD交于O。那么，S-ADO：S-ABO=DO：BO=S-CDO：S-CBO
=>S-ADC(=S-ADO+S-CDO)：S-ABC(=S-ABO+S-CBO)=DO：BO=1:1

由D（-根号3，4.5），B(2*根号3，0）知道O（1/2*根号3，9/4）
于是知道AC。

至于第二问，提示：如果存在，那么有AP平分BQ。由全等，知道AB=AQ=4*跟号3。
容易知道，此时Q（0,6）
然后由AP平分BQ，容易知道P。

提示：整题就只需注意，二次函数y=-0.5x²+6顶点C，ABC是正3角形。