Question

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积：①

图请自己画，在线等！
已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积：①向量AB乘向量AC ②向量AD乘向量DB ③向量GF乘向量AC

④向量EF乘向量BG ⑤向量FG乘向量BA ⑥向量GE乘向量GF

Answer 1

①AB•AC=AD•DB=a²cos60º=a²/2
②GF，EF，FG，都是边长为a的等边三角形的中位线，其模都等于a/2.故
③GF•AC=a×(a/2)cos180º=-a²/2
④EF•GB=(a/2)(asin60º)(cos120º)=-(√3/8)a²
⑤FG•BA=(a/2)(a)cos120º=-a²/4
⑥GE•GF={√[(a/2)²+(a√3/2)²]}(a/2)cos45º=(√2/4)a²
【ABCD是个正四棱锥，各向量的夹角和其模的大小请自己画图验证，因为不好画图，即使画了，也说不清楚，故把计算过程都省去了，这是没法子的事，请见谅。】
【注意两个相量相乘时要把它们的起点挪到(平行挪动)同一个点上以后再确定它们的夹角】

Answer 2

①AB•AC=AD•DB=a²cos60º=a²/2

②AD•DB=a²cos60º=a²/2

<GF，EF，都是边长为a的等边三角形的中位线，其模都等于a/2.故>

③GF•AC=a×(a/2)cos180º=-a²/2

④EF•BC=(a/2)xacos60º=a²/4

⑤FG•BA=(a/2)(a)cos120º=-a²/4

⑥GE•GF=)=(√2/2)axa/2cos45º=(√2/4)a²cos45º=a²/4

Answer 3

由题意知为正四面体，相邻边夹角为60度，由此，解决1，2。又E，F，G为中点，得GF平行AC，EF平行BG，由此解决3，4。又FG平行AC，所以5等价于AC与BA的向量积的一半。GE=GF+FE，然后再与GF相乘，其中，因为四面体是正四面体，所以对边垂直，所以AC垂直于BD，得到EF垂直于FG，然后就可以算啦。 因为我是用手机写的，好多符号没能表示，请见谅啊，不过整体思路我都给你啦，希望你能亲自做下。望能帮到你。

Answer 4

实际上这个空间四边形的对角线连上后就是一个正三棱锥 因为每条边和对角线都相等啊 这样你就可以证明出每两条边的夹角的大小 我相信你两个向量相乘会做的吧