Question

已知函数fx=lnx+(a-2)x（a是常数），此函数对应的曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线与x轴平行

（1）求a的值并求f（x）的最大值
（2）设m＞0，函数g（x）=1/3mx³-mx，x∈（1,2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）-g（x2）=0，求m的取值范围

Answer 1

(1)f'(x)=1/x+(a-2)，那么f'(1)=1+a-2=0，∴a=1
f(x)=lnx-x，f'(x)=1/x-1=-(x-1)/x (x>0)
令f'(x)≥0，那么0<x≤1；令f'(x)<0，那么x>1
∴f(x)在(0,1]上单调递增，在(1,+∞)上单调递减
∴f(x)max=f(1)=0-1=-1
(2)g'(x)=mx²-m=m(x+1)(x-1)，当1<x<2时，g'(x)>0
∴g(x)在(1,2)上单调递增，
那么g(x)min=g(1)=-2/3*m，g(x)max=g(2)=2/3*m
∵f(x)在(1,2)上单调递减，那么f(x)min=f(2)=ln2-2，f(x)max=f(1)=-1
要使f(x1)-g(x2)=0，即f(x1)=g(x2)恒成立，
那么就要求g(x)min≤f(x)min，g(x)max≥f(x)max
∴-2/3*m≤ln2-2，2/3*m≥-1，解得：m≥3-3/2*ln2

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