Question

已知函数f（x）=ax+1-lnx，其中a∈R是常数．（1）若曲线y=[f（x）]2在点（1，f（1））处的切线平行于x轴

已知函数f（x）=ax+1-lnx，其中a∈R是常数．（1）若曲线y=[f（x）]2在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）试讨论直线y=-x+e（e为自然对数的底数）与曲线y=f（x）公共点的个数．

Answer 1

（1）y/=2f(x)?f/(x)=2(ax+1-lnx)(a-

1

x

)…（1分）
依题意，y′|_x=1=2（a+1）（a-1）=0…（2分），解得a=±1…（3分）
（2）f/(x)=a-

1

x

，x＞0．
a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，无极值…（4分）
a＞0时，由f′（x）=0得x=

1

a

…（5分）
当0＜x＜

1

a

时f′（x）＜0，当x＞

1

a

时f′（x）＞0…（6分），
所以f（x）在x=

1

a

处取得极小值，极小值为f(

1

a

)=2+lna…（7分）
（3）记g（x）=f（x）-（-x+e）=（a+1）x+（1-e）-lnx，则直线y=-x+e与曲线y=f（x）公共点的个数，
即函数g（x）零点的个数．g/(x)=(a+1)-

1

x

a≤-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，且值域为R，有一个零点…（8分）
a＞-1时，由g′（x）=0得x=

1

a+1

…（9分）
当0＜x＜

1

a+1

时，g′（x）＜0，当x＞

1

a+1

时g′（x）＞0…（10分），
所以f（x）在x=

1

a+1

处取得极小值，极小值为g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)…（11分）
当g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)＞0，即a＞e^e-2-1时，g（x）无零点…（12分）
当g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)=0，即a=e^e-2-1时，g（x）有一个零点…（13分）
当g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)＜0，即-1＜a＜e^e-2-1时，g（x）有两个零点．
综上所述，a≤-1或a=e^e-2-1时，直线y=-x+e与曲线y=f（x）有一个公共点；-1＜a＜e^e-2-1时，有两个公共点；a＞e^e-2-1时，无公共点…（14分）．