Question

数学：关于柯西不等式的一道题

证明：若a>0,则√(a^2+1/a^2)-√2≧a+1/a-2
有个人说用柯西不等式，什么两边同时乘以1，由于还没教过，谁能告诉我下思路？
a+1/a= = √(a +1/a +2)这个不懂

Answer 1

用逆推法
√(a^2+1/a^2)-√2≥a+1/a-2
<= [ √(a^2+1/a^2)-√2 ]^2≥(a+1/a-2)^2
整理，得
<= a+1/a-1>=√[ (a^2+1/a^2)/2 ]
再次两边平方
<= a^2+1/a^2+6-4/a-4a>=0
<= (a+1/a-2)^2>=0
而该式显然成立。得证。

Answer 2

两边同时被1除，不是乘以1
若a>0，则a²+1/a² ≥ 2
则√a²+1/a² ≥√2
a+1/a=√(a²+1/a²+2)≥2
√(a²+1/a²+2) + √(a²+1/a²) ≥ 2 + √2
然后两边同时被1除，之后自己琢磨吧，不是很难的题目