Question

数学作业！几何题！急！求过程！

一圆与直角三角形ABC的一边AC相切（角C为直角，AB为斜边），并与AB相交于E，与BC相交于F。点B在圆上。（BF为圆的一条弦）。AC和BC的长度是整数且AC>BC。若AE=4，BE=21，求该圆的半径。

Answer 1

记圆心为O，⊙O与AC相切于G，过O作OD⊥FB，垂足为D，则FD=DB,，连接OG，则OGCD是矩形且CD等于⊙O的半径。由题意AG²=AE·AB=4·（4+21）=100，所以AG=10。另外在△ABC中AC²+BC²=AB²=25²，其中AC、BC是整数且AC＞BC,。熟知4²+3²=5²，以及20²+15²=25²，于是AC=20，BC=15。GC=AC-AG=20-10=10。又GC²=CF·BC，所以CF=10²/15=20/3，FD=(BC-CF)/2=(15-20/3)/2=25/6，⊙O的半径为CF+FD=20/3+25/6=65/6=10又5/6。

追问

为什么AG^2=AE*AB?

追答

这是有关圆的比例线段的几个定理之一：从园外一点P引这圆的一条切线PA和一条割线PBC（A是切点，B、C是交点），则PA²=PB·PC。可连接AB、AC，利用∠PAB=∠PCA证△PAB∽△PCA，列出比例式PB/PA=PA/PC即得。

Answer 2

BE=21=半径

Answer 3

Ac等于24,BC等于7.