Question

不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其

设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何三数都是某三角形的边长
设x+y+z=19,则函数u=根号（x^2+4)+根号（y^2+9)+根号(z^2+16)的最小值为

Answer 1

原问题可以这样简化：
题目中这n个正实数大小顺序不影响不等式成立，因此可以假设他们大小为从大到小排列
这样一来题目只需要证明an+a(n-1)＞a1即可。因为三正数为三角形边长的充要条件就是任意两边和大于第三边（当然也可以等价为较小两边的和大于第三边）。只要最小两个数的和大于最大的a1就行
构造函数f(x）=（a1^4+a2^4+...+an^4)x²+(a1^2+a2^2+...+an^2)x+ (n-1)/4
=(a1²x+1/2）²+（a2²x+1/2）²+……+（a²nx+1/2）²-1/4
则方程f(x)=0的判别式δ=(a1^2+a2^2+...+an^2)^2 - (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)＞0

接下来只考虑f(x)＜0的部分
令a²ix=Ti,那么f(x)=(T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²-1/4，
并且设b²n=1/4 -[（T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²]，bn＞0，这样方便下面描述

由不等式f（x）＜0，则可以得到（Tn+1/2）²＜b²（n-1），所以Tn∈（-1/2-b(n-1),-1/2+b(n-1)）
由此可以知道x必然小于0，并且由a(n-1)＞an可以知道-1＜T(n-1)＜Tn＜0
所以[1/2+T1-T(n-1)]²-b²（n-1）= [（T1+1/2)²+……（Tn-1 +1/2)²】+[1/2+T1-T(n-1)]²-1/4
＞0
即1/2+T1-T(n-1)＞b(n-1),所以由Tn的范围可以知道T1-T（n-1）＞Tn
同除以x即得到a1-a(n-1)＜an,也就是an+a(n-1)＞a1

追问

谢谢 虽然花了老半天时间看得差不多懂了 但感觉此思维难度好大 步步艰难 急求其他解法

请再看看这道题 求证：1/(n+1) (1+1/3+1/5+......+1/2n-1)>1/n (1/2+1/4+......+1/2n)(n>=2且为正数）

追答

其实我感觉楼下这位的回答反而正确而且好懂，就采纳他的吧，毕竟柯西不等式还算容易证明

补充的题目做法是这样的：设
1+1/2+1/3+1/4+……+1/n =an
那么原题可以变为 1/(n+1) [a2n - 1/2 an ]＞1/2n an
进一步可以变为2n(a2n - an) ＞ an
而左边=2n[1/(n+1)+……+1/2n]＞2n × n/2n =n
右边＜n，所以容易证明

追问

急问此步是怎么得来的？，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2<=(M+M+a4^2+...+an^2)^2
<=(n-1)(2M^2+a4^4+...+an^4) 第二个"<="

追答

注意它的这一项：M+M+a4^2+...+an^2
，实际上是把不等式的数分成了M ,M ,a4²……a²n，一共（n-1）项，也就是两个M作为独立的两个数参与不等式
所以等式右边，两个M自然分别变为2个M²

追问

(M+M+a4^2+...+an^2)^2<=(n-1)(2M^2+a4^4+...+an^4) 直接使用这一步是应用了某个不等式公式吗？感觉没见过 请不辞辛苦赐教。

谢谢 我已经明白此为均值不等式变形公式。

请在帮忙做下
求实数x,y的值使得（y-1)^2+(x+y-3)^2+(2x+y-6)^2取到最小值

追答

换个地方打吧，这里快捉不下这么多问题了,别让其他人看的费劲儿啊……
设y-1=a,x+y=b,2x+y-6=c
则c-2b+a=-7之后的你还是提供QQ吧，在百度上这么问会降RP的，呵呵

Answer 2

补充问题：将U平方，展开式中出现三个2倍根式，对每个根式用二维柯西不等式，
即：2倍根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=2(xy+6), 2倍 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=2（yz+12）,
2倍根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=2（xz+8）,
所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+52 ＝442，且等号时x:y:z=2:3:4，等式能成立，所以得出最小值
U=根号442

楼上二位人才难得 在此向你们献礼！

Answer 3

只要证a1+a2>a3, 其它的同理可证。
用反证法，设a1+a2<=a3，证明条件不等式中的那个>号变成<=就行了。
先证(a1^2+a2^2+a3^2)^2<=2(a1^4+a2^4+a3^4). 右边减左边＝
[a3^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2>=[(a1+a2)^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2 = 0. 成立。
记M=根号[(a1^4+a2^4+a3^4)/2]，则上式得a1^2+a2^2+a3^2<=2M.
用柯西不等式，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2<=(M+M+a4^2+...+an^2)^2
<=(n-1)(2M^2+a4^4+...+an^4)= (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4).
因此反证法完成！

至于补充问题：先将U平方，展开式中出现三个根式，对每个根式用二维柯西不等式，
即：根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=xy+6, 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=yz+12,
根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=xz+8,
所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+26 ＝常数，且等号时x:y:z=2:3:4，等式能成立，所以得出最小值。

追问

急问此步是怎么得来的？，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2<=(M+M+a4^2+...+an^2)^2
<=(n-1)(2M^2+a4^4+...+an^4) 第二个"<="

追答

啊，才看到这里有个追问，谢谢楼上的解释！也谢谢楼下的纠错！
我这里再把第二个“<=”作详细解释：
柯西不等式的一个重要特例是：
对于任意n个实数 x1，x2，x3,，…… ，xn， 都有
(x1 + x2 + ……+xn)^2 <= n(x1^2 + x2^2+…… +xn^2).（1）
现在是n-1个实数：M，M，a4^2，……，an^2，
它们的和再平方，相当于上面公式（1）中把n换成n-1的情况，
即和的平方小于或等于这n-1个实数的平方和，前面系数n换成n-1.

Answer 4

这两题当年都做过的，唉，都两年了，我试着看能不能回忆起来