Question

数列{an}的通项公式是an=4n-3,它的前n项和为Sn,记Tn=(Sn+31)/n,如果存在正整数M使得对一切正整数n,

Tn>M都成立,那么M的最大值是
求详解!

Answer 1

a(n)=4n-3,
a(n+1)-a(n) = 4(n+1) -3 - 4n + 3 = 4
a(n) 为公差为4的等差数列。首项 a(1) = 4*1-3 = 1
它的前n项和 Sn = (1 + 4n-3)*n/2 = n*(2n-1)

Tn = [n*(2n-1)+31]/n
= (2n -1) + 31/n
= 2n + 31/n -1
= 2( n + 15.5/n) -1
= 2 [√n - √(15.5/n)]^2 + 2 * (√n) * (√15.5/n) -1
= 2 [√n - √(15.5/n)]^2 + (2 * √15.5) -1
令 √n - √(15.5/n) = 0
n = √15.5 = 3.937
由于 n 是自然数，所以 当 n=4 时，Tn 取最小值。该值为
t = [n(2n-1)+31]/n = [4*7+31]/4= 59/4 = 14.75

因此 满足题目意的 整数M 的最大可能值为 14。

Answer 2

a1 = 1

Sn = (1+an)n/2 = n(2n-1)

Tn = 2n + 31/n -1 > m

2n + 31/n > m + 1

当 n = 4 时 2n + 31/n 最小 为 15.75

m 最大为 14