Question

问题:若xyz不等于0,且(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/z,求(y+z)(z+x)(x+y)/xyz的值?

Answer 1

令(y＋z)/x＝(z＋x)/y＝(x＋y)/z＝t
∴y＋z＝xt，z＋x＝yt，x＋y＝zt
三式相加得：2(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)t
∴(2－t)(x＋y＋z)＝0
∴2－t＝0或x＋y＋z＝0
若2－t＝0，则t＝2，(y＋z)(z＋x)(x＋y)/xyz＝(y＋z)/x·(z＋x)/y·(x＋y)/z＝t^3＝8
若x＋y＋z＝0，则(y＋z)(z＋x)(x＋y)/xyz＝(－x)(－y)(－z)/xyz＝－1

Answer 2

1

Answer 3

(y+z)/x+1=(z+x)/y+1=(x+y)/z+1，即(y+z+x)/x=(z+x+y)/y=(x+y+z)/z，即x=y=z
(y+z)(z+x)(x+y)/xyz=8

Answer 4

令(y＋z)/x＝(z＋x)/y＝(x＋y)/z＝t
则y+z=xt;① ；z+x=yt ② ；x+y=zt ③ ；由③+② 得2x=(x+y)(t-1)。把①带人得x(t^2-t-2)=0.又因为xyz<>0。所以t^2-t-2=0。即t=2或t=-1。
很容易得到(y+z)(z+x)(x+y)/xyz=t^3。随意(y+z)(z+x)(x+y)/xyz=-1或8。