求微分方程（x+y^3）dy=ydx的通解不会解啊，谁帮忙解解
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解：（常数变易法）
显然，y=0是方程的解。则设y≠0
∵(x+y³)dy=ydx
∴ydx/dy=x+y³..........(1)
先解齐次方程ydx/dy=x
∵ydx/dy=x ==>dx/x=dy/y
==>ln│x│=ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Cy
∴解齐次方程ydx/dy=x的通解是x=Cy (C是积分常数)
于是，设方程(1)的解为 x=C(y)y (C(y)表示关于y的函数)
∵x'=C'(y)y+C(y)
代入方程(1)得C'(y)y²+C(y)y=C(y)y+y³
==>C'(y)=y
==>C(y)=y²/2+C (C是积分常数)
∴x=(y²/2+C)y
=y³/2+Cy
故原方程的解是 y=0与x=y³/2+Cy (C是积分常数)。
显然，y=0是方程的解。则设y≠0
∵(x+y³)dy=ydx
∴ydx/dy=x+y³..........(1)
先解齐次方程ydx/dy=x
∵ydx/dy=x ==>dx/x=dy/y
==>ln│x│=ln│y│+ln│C│ (C是积分常数)
==>x=Cy
∴解齐次方程ydx/dy=x的通解是x=Cy (C是积分常数)
于是，设方程(1)的解为 x=C(y)y (C(y)表示关于y的函数)
∵x'=C'(y)y+C(y)
代入方程(1)得C'(y)y²+C(y)y=C(y)y+y³
==>C'(y)=y
==>C(y)=y²/2+C (C是积分常数)
∴x=(y²/2+C)y
=y³/2+Cy
故原方程的解是 y=0与x=y³/2+Cy (C是积分常数)。
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2023-08-01 广告
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