设对任意的正实数x，y，不等式|x^a -y^a|≤|x-y|^a 都成立，则实数a的取值范围是？
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当a<0时，令x→0，y=1，左边→正无穷，右边→1，不等式不能成立。
当a=0时，x=y则矛盾。所以a>0.
如果a>1，两边除以|x-y|，令y→x，左边用导数公式，则有
ax^(a-1)<=|x-y|^(a-1)，且右边趋向于0，矛盾！所以应有0<a<=1.
当0<a<=1时，不妨设x>y>0，两边除以x^a，不等式化成：
1<=(1-y/x)^a +(y/x)^a，(1)
由指数函数性质知：（1）式右边>=(1-y/x)+y/x=1，所以（1）式成立。
综上，0<a<=1.
当a=0时，x=y则矛盾。所以a>0.
如果a>1，两边除以|x-y|，令y→x，左边用导数公式，则有
ax^(a-1)<=|x-y|^(a-1)，且右边趋向于0，矛盾！所以应有0<a<=1.
当0<a<=1时，不妨设x>y>0，两边除以x^a，不等式化成：
1<=(1-y/x)^a +(y/x)^a，(1)
由指数函数性质知：（1）式右边>=(1-y/x)+y/x=1，所以（1）式成立。
综上，0<a<=1.
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