Question

概率论数字特征问题，求大神解答

设y=lnx~N(μ,σ^2),求EX。
要有过程，谢谢了～

Answer 1

解：∵lnx~N(μ,σ²)，∴f(x)=(1/x)Ae^[-(lnx-μ)²/(2σ²)，其中A=1/[σ√(2π)]。
∴E(x)=∫(-∞,∞)xf(x)dx=A∫(-∞,∞)e^[-(lnx-μ)²/(2σ²)]dx。
设t=lnx，∴E(x)=A∫(-∞,∞)e^[t-(t-μ)²/(2σ²)]dt。而，t-(t-μ)²/(2σ²)=-(t-μ-σ²)²/(2σ²)+(μ+σ²/2)，
∴E(x)=[e^(μ+σ²/2)]∫(-∞,∞)Ae^[-(t-μ-σ²)²/(2σ²)]dt。视“Ae^[-(t-μ-σ²)²/(2σ²)]”为均值为μ+σ²、方差为σ²的正态分布的密度函数，∴∫(-∞,∞)Ae^[-(t-μ-σ²)²/(2σ²)]dt=1。
∴E(x)=e^(μ+σ²/2)。
供参考。