Question

线性代数：在求r(a)=1时的特征值的时候，其汇总的一个特征值是对角线的数的和，为什么要是原矩阵的对角线

线性代数：在求r(a)=1时的特征值的时候，其汇总的一个特征值是对角线的数的和，为什么要是原矩阵的对角线上数的和，而不是经过初等变换之后只有第一行那种的对角线的和？

Answer 1

这里用到一个结论: 矩阵A的所有特征值的和 = A的迹 (即A的主对角线的数的和)
由r(A) = 1, 所以 0 是 A的 n-1 重特征值, 所以A只有一个非零特征值
所以 "其汇总的一个特征值" = A的所有特征值的和 = A的主对角线的数的和.
这是由A的特征多项式确定的.

经过初等变换之后得到的矩阵与A的关系只是等价, 特征值特征向量并没关系

Answer 2

如题所言.反证法，设存在可逆P，使PA除第一行以外都是零，且首行首列元a为所有特征值之和，则有Q＝2P，QA＝2PA且除首行皆为零，则首行首列元为2a，如果2a为所有特征值之和则有a=1（a=0除去），故而题设所针对的所有矩阵并不都成立。

Answer 3

因为rank本来就是找到变换后无法完全变成0的行和列的值，是原矩阵的一个特征，不能用变换后对角线上数的和来代表。