Question

关于在空心球壳上一质点对空心球壳的万有引力的问题。

用微元法可以证出：一空心球壳，其对其内部一质点，万有引力的合力为0；在空心球壳外一质点，其对球壳的万有引力大小可以由万有引力定律的公式求出。那么，在空心球壳上一质点（即：在球壳的表面上）对球壳的万有引力，亦或是球壳表面的一个点对球壳的万有引力应该是什么呢？是不是0呢？该怎么求呢？如果一个质点从空心球壳内部射出，那么，在穿越球壳表面前后，其所受万有引力变化是不是连续的呢？谢谢！！！
也许是我没说清楚，我再说一遍：
一个半径为R，厚度L趋近于0的空心球壳（有质量），在其表面上有一质点M（也可以理解为质点镶嵌在球壳上），问：M对球壳是否有万有引力？（因为在空心球壳内部的质点对球壳的万有引力之和为0，而在球壳之外一点对于球壳有万有引力，随质点与球心的距离r的增大而减小。那么，临界态，即：质点恰好距球心为球壳半径R时，它与球壳之间有万有引力吗？如果我把质点与球心距离r，和质点所受球壳的万有引力F，用图像表示，那么：当r取R附近时，其图像连续吗？）谢谢！！！
我好像能证出来此时的万有引力要么是0，要么是GMm/R*2了（当然有可能证错）
但是到底是哪一个呢？
盼望诸位大侠给予解答......

Answer 1

首先，一空心球壳对其内部一质点的万有引力为0是正确的，而且在内部的任意一点均成立，可以用力学方法或通量定理来证
然后说明场强的变化，场强可以表达为引力势的负梯度（引力势U=-GM/r），考虑整个场分布为球对称，引力场强E=-dU/dr。由于引力势在球壳内部为定值，在外部为双曲线，故球壳上的点不可导，该点的引力场强从数学上来说是没有定义，物理上来说是不存在。就如你的计算“万有引力要么是0，要么是GMm/R*2”，没有错误，该点场强不存在，万有引力变化是不是连续的
从真实角度出发，空间任意一点都应有一个引力值（不考虑广义相对论条件下的一些修正和特殊情况），那么同样的，球壳模型也是一种数学抽象，真是世界里不存在厚度为零还有质量的物体，只要有厚度场强就是连续的

追问

非常感谢，我们老师也是这么说的
但我还是有一些迷惑
就是
我说的这种情况，起引力势能是有意义的，换言之是存在的
E(p)=-G(Mm)/r或E(p)=-G(Mm)/R
为什么万有引力在这里就没有意义呢？
再次感激不尽

追答

物理是一门实验学科，其理论必须以实验结果为基础，但是为了将现象抽象升华为理论就必须利用数学工具。
所以为了把握核心，在研究物理问题的时候会提出各种模型，这些模型有的将实际问题简化，例如考虑物体宏观运动时忽略分子的热运动；有的进行抽象，例如质点，无限大平面等。但是这样是有代价的：题中的球壳模型没有厚度，在数学处理上发现势能函数连续但是在球壳上不可导，因此得到的场强函数是不连续的，但是除此以外空间任意一点的场强或势能都可以方便地计算，所以这个模型是有其意义的。
简而言之，引力场强在这里就没有意义是由于数学抽象导致的。
如果要计算该处场强就应该使用有厚度球壳模型，直接计算涉及复杂的积分过程（但是根据薄球壳模型的结论可以简化计算），然后得到连续可导的势能函数和连续的场强函数

追问

十分感谢！！！

Answer 2

回答： 理论讲的对，无论空心球还是实心球，中心点的引力都是零。离开中心点的引力就不是零。
在空心球壳上的质点对球壳的万有引力不是零。计算方法用引力公式。
质点从空心球壳内部射出，在穿越球壳表面前后，所受万有引力变化是连续的。

追问

您所说的：“无论空心球还是实心球，中心点的引力都是零。离开中心点的引力就不是零。”，我表示不赞同。怎么证，不多赘述
http://zhidao.baidu.com/question/160795687.html

追答

我改变一下看法：谈谈实心球的引力问题。引力是两个物体相互吸引产生的，单讲一个实心球本身不会产生引力，用不着探索其中心点的引力问题。
一个半径为R，厚度L趋近于0的空心球壳（有质量），在其表面上有一质点M（也可以理解为质点镶嵌在球壳上），问：M对球壳是否有万有引力？答：没有！因为质点M与球壳一体，不能产生引力。
当r取R附近时，其图像连续吗？答：其图像不连续。因为在r=R时，没有引力产生。r＞R时公式是F=GMm/r2 。r＜R时引力是零。

追问

我对于您所说的，对于一个质点系来说，其各个质点间没有万有引力，我表示不赞同。牛顿所指出的，万有引力是对于所有物体，所有质点而言都是存在的，任意两点间都会有。如果这题设中的情况是有意义的，那么我想应该可以算作这个系统的内力……
如果您有什么别的见解，希望您可以发送到jintiantianerbucuo@qq.com，我们再做探讨，好吗？十分感谢您这么关注这个问题！！！！！！

Answer 3

根据高中物理竞赛各种资料的观点，你问的这个力是 GMm/R*2的一半！！！！ 。可以从能量的观点来证，也可以用高斯定理。所以在那一点处引力不连续。但我个人以为，所有证明都是诡证，纯粹是思辨性的！这个问题本人觉得毫无价值，因为厚度为零但还有质量的物体是不存在的。

追问

如果您能把具体过程发送到jintiantianerbucuo@qq.com（因为没什么时间了，要确定一个最佳答案），本人将感激不尽，感激不尽......（对不起没有财富和积分给你了，但是我在这里表示最真诚的感谢！！！）但是，对于你所说的一个△l→0得球壳，确实有意义的说……
无论如何，感谢了！！！

Answer 4

你的 壳内质点对壳的万有引力合力为0的结论是错误的（除非这个质点是在壳的质心），

Answer 5

不受力不会产生运动，从内部射出的一个质点，先受力冲出壳体，冲出后，是否继续自然受万有引力，而且受万有引力是连续的。