Question

从0到x对tf（t）积分的导为什么等于xf（x）-从0到x对f（t）积分

从0到x对tf（t）积分的导为什么等于xf（x）-从0到x对f（t）积分如图

Answer 1

令g(t)=tf(t）, [g(t) 0到x的积分]'=g(x)=xf(x)

令F(x)=[∫(0,x)xf(t)dt]

F(x)=[∫(0,x)xf(t)dt]=x*∫(0,x)f(t)dt

F'(x)=∫(0,x)f(t)dt+x*f(x)

因为是对x求导，那是函数的自变量，而不是积分的积分变量，必须要放到外面去，否则不太好求。当然x相对于积分来说，相当于常数，也是可以拿到外面的。

定义积分

方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

Answer 2

从0到x对tf（t）积分的导为什么等于xf（x）-从0到x对f（t）积分具体解析如下图所示：

[∫（g（x），c）f（x）dx]'=f（g（x））*g'（x），g（x）为积分上限函数。[∫（g（x），p（x））f（x）dx]'=f（g（x））*g'（x）-f（p（x））*p'（x），g（x）为积分上限函数，p（x）为积分下限函数。

积分上限为函数的求导公式等于被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数。

积分上下限为函数的求导公式等于被积函数以积分上限为自变量的函数值乘以积分上限的导数-被积函数以积分下限为自变量的函数值乘以积分下限的导数。

对于积分上下限为常数的积分函数，其导数=0，即[∫（a，c）f（x）dx]'=0，a，c为常数。

Answer 3

很简单，令g(t)=tf(t）, [g(t) 0到x的积分]'=g(x)=xf(x)

Answer 4

你这个推导是错的，你把x与t搞混了

Answer 5

不是应该等于xf（x？）