Question

高等数学:::

已知f(x)连续，∫[0→x] t f(x-t)dt=1-cosx,则∫[0→π/2]f(x)dx=____________________.
请老师讲解一下，谢谢您了！

Answer 1

作变换x－t＝u，则t＝x－u，t从0变换到x，则u从x变换到0。

所以
∫0～x tf(x－t)dt
＝∫x～0 (x－u)f(u)(－du)
＝∫0～x (x－u)f(u)du
＝x∫0～x f(u)du－∫0～x uf(u)du

在 x∫0～x f(u)du－∫0～x uf(u)du＝1－cosx 两边求导，得：
∫0～x f(u)du+xf(x)－xf(x)＝sinx，即∫0～x f(u)du＝sinx，所以，令x＝π/2，得：
∫0～π/2 f(u)du＝1，所以所求积分的结果是1。