Question

设O为坐标原点，F1、F2为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点（存在点P,使得角F1PF2=60°OP=根号7a,求渐近线方

设O为坐标原点，F1、F2为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点（a>0,b>0)，若双曲线上存在点P,使得角F1PF2=60°OP=根号7a,求双曲线渐近线的方程

Answer 1

设焦距为2c,即|OF1|=|OF2|=c,|OP|=根号7a
在三角形POF1和三角形POF2中，由余弦定理得，
|PF1|^2=|OP|^2+|OF1|^2-2|OP||OF1|cos角POF1,(1)
|PF2|^2=|OP|^2+|OF2|^2-2|OP||OF2|cos角POF2,(2)
cos角POF1=cos(180度-角POF2）=-cos角POF2，2|OP||OF1|cos角POF1=-2|OP||OF2|cos角POF2，
(1)+(2)得 |PF1|^2+|PF2|^2=|OF1|^2+2|OP|^2+|OF2|^2=2c^2+14a^2
角F1PF2=60°,|F1F2|=2c,在三角形PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cos60°,
4c^2=|PF1|^2+|PF2|^2-|PF1||PF2|,
|PF1||PF2|=|PF1|^2+|PF2|^2-4c^2=2c^2+14a^2-4c^2=14a^2-2c^2,
由双曲线定义得(|PF1|-|PF2|)^2=(2a)^2=4a^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|=2c^2+14a^2-2(14a^2-2c^2)
即4a^2 =6c^2-14a^2,18a^2=6c^2,3a^2=c^2=a^2+b^2,2a^2=b^2,b^2/a^2=2,b/a=根号2，
,求双曲线渐近线的方程为y=(b/a)x和y=-(b/a)x,即y=(根号2)x和y=-(根号2)x

Answer 2

正解