Question

已知椭圆x/3+y/2=1的左右焦点分别为F1F2过F1的直线直线交椭圆于BD两点

Answer 1

当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程
x2
3
+
y2
2
=1，并化简得（3k
2
+2）x
2
+6k
2
x+3k
2
-6=0．
设B（x
1
，y
1
），D（x
2
，y
2
），则x1+x2=-
6k2
3k2+2
，x1x2=
3k2-6
3k2+2

|BD|=
1+k2
•|x1-x2|=
(1+k2)•[(x1+x2)2-4x1x2]
=
4
3
(k2+1)
3k2+2
；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为-
1
k
，
所以，|AC|=
4
3
(
1
k2
+1)
3×
1
k2
+2
=
4
3
(k2+1)
2k2+3
．
四边形ABCD的面积S=
1
2
•|BD||AC|=
24(k2+1)2
(3k2+2)(2k2+3)
≥
24(k2+1)2
[
(3k2+2)+(2k2+3)
2
]2
=
96
25
．
当k
2
=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
96
25
．

Answer 2

(2)
∵P在椭圆内，∴原题应该是求四边形ACBD面积S的最小值
设AB与x正方向所成角为θ，则CD与x正方向所成角为θ+π/2
--->AB参数方程：{x=tcosθ-1,y=tsinθ}
CD参数方程：{x=1-tsinθ,y=tcosθ}
AB与椭圆方程联立：2(tcosθ-1)²+3(tsinθ)²=6
--->(3-cos²θ)t²-4tcosθ-4=0
--->t1+t2=4cosθ/(3-cos²θ)，t1t2=-4/(3-cos²θ)
--->(t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=48/(3-cos²θ)²
--->|AB|=|t1-t2|=4√3/(3-cos²θ)=8√3/(5-cos2θ)
同理：|CD|=4√3/(3-sin²θ)=8√3/(5+cos2θ)
--->S=(1/2)|AB||CD|=96/(25-cos²2θ)≥96/(25-1)=4
--->θ=0或π/2即AB或CD垂直于x轴时，ABCD面积最小为4