Question

已知直线2x+3y+6=0与圆x2+y2+2x-6y+m=0(其圆心为点C）交于A,B两点，若CA垂直CB，求实数m的值？求过程！

Answer 1

圆C：(x＋1)²＋(y－3)²=9－m。由于CA垂直CB，则圆心到直线的距离为(√2/2)R，从而|－2＋9＋6|/√13=(√2/2)×√(9－m)，解得m=－17。

追问

你的也不对

追答

那就来正确的：
圆C：(x＋1)²＋(y－3)²=10－m。由于CA垂直CB，则圆心到直线的距离为(√2/2)R，从而|－2＋9＋6|/√13=(√2/2)×√(10－m)，解得m=－16。

追问

呵呵

追答

不小心造成的。

追问

你就不能写个详细的过程给我吗？

追答

好的。
由于CA垂直CB，则角ACB=90°，由垂径定理得知三角形ACB为等腰直角三角形，所以点C到AB的距离等于CA的(√2/2)，即圆心C到直线2x＋3y＋6=0的距离为(√2/2)R，就是|－2＋9＋6|/√13=(√2/2)×√(10－m)，两边平方，有10－m=26，解得m=－16。

Answer 2

圆方程：x^2+2x+1+y^2-6y+9=10-m
(x+1)^2 + (y-3)^2 = 10-m
圆心C(-1, 3)

圆方程所有系数乘以9，得：9x^2+(3y)^2+18x-18*(3y)+9m=0
直线：3y=-2x-6
代入：9x^2+(-2x-6)^2+18x-18(-2x-6)+9m=0
整理得：13x^2+78x+144+9m=0

(1)、因为CA垂直CB
所以CA与CB的斜率的乘积为-1
[(x1+1)/(y1-3)]*[(x2+1)/(y2-3)]=-1
(x1+1)(x2+1)+(y1-3)(y2-3)=0
x1x2+(x1+x2)+1+(4/9)x1x2=0
(13/9)*(144+9m)/13+(-6)+1=0
m=-11

(2)、当CA、CB中有一条垂直于x轴时，此时斜率不存在
将x1=-1代入13x^2+78x+144+9m=0
解得m=-79/9
所以x2=-5
y2=4/3≠3
可知，当其中一条垂直于x轴时，另一条不平行于x轴，不符合题意

综上，m只有唯一解m=-11

追问

你做的不对