Question

第16题为什么基础解系由解向量构成；它是怎么构成的？

第16题为什么基础解系由解向量构成；它是怎么构成的？

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Answer 1

非齐次线性方程组AX=b（I）和齐次线性方程组AX=O（II）的解之间存在密切的关系，有以下性质：

• 若ξ1，ξ2均为（I）的解，则ξ1-ξ2为（II）的解。

• 若ξ0为（I）的解，ξ拔为（II）的解，则ξ0+ξ拔为（I）的解。

所以先考虑AX=O的情况。由性质1可知，因为η1、η2、η3是AX=b的解，所以答案取的η2-η1和η3-η1是AX=O的解。

再考虑基础解系的选取。齐次线性方程组的基础解系有如下性质：

• 如果n个未知量的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，那么这个齐次线性方程组任意的n-r个线性无关的解向量都构成该方程组的一个基础解系。

所以这道题有4个未知量，r(A)=2，只要选取2个线性无关的解向量就可以得到这个方程组的基础解系。选取的方法不唯一，比如答案选取了η2-η1和η3-η1，所以AX=O的基础解系就是k1（η2-η1）+k2（η3-η1）。

最后再结合性质2，加上一个特解就行，比如答案选取了η1作为特解，所以AX=b的基础解系就是k1（η2-η1）+k2（η3-η1）+η1。