Question

设A为一实对称矩阵，且A2=0，证明A=0

Answer 1

A'=A由A2=0则A'A=0

注意A'A中的a11=（A'第一行元素乘以A第一列元素）

A的第一列元素的平方和为0

则第一列每一个元素为0

同理a22，……ann则A=0

扩展资料：

n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

Answer 2

A'=A由A2=0则A'A=0

注意A'A中的a11=（A'第一行元素乘以A第一列元素）

A的第一列元素的平方和为0

则第一列每一个元素为0

同理a22，……ann则A=0

矩阵转置

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。

矩阵转置的运算律(即性质)：

1、(A')'=A

2、(A+B)'=A'+B'

3、(kA)'=kA'(k为实数)

4、(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

Answer 3

A'=A由A2=0则A'A=0注意A'A中的a11=（A'第一行元素乘以A第一列元素）其实就是A的第一列元素的平方和，它为0，则第一列每一个元素为0，同理a22，……ann则A=0

Answer 4

证明:因为a是实对称矩阵
所以a相似于对角矩阵diag(λ1,λ2,...,λn)
其中λi是a的特征值.
因为相似矩阵有相同的秩,
故r(a)=λ1,λ2,...,λn中非零数的个数.
由a是实对称矩阵知a^2也是实对称矩阵
且a^2的特征值为λ1^2,λ2^2,...,λn^2
故a^2相似于对角矩阵diag(λ1^2,λ2^2,...,λn^2)
且r(a^2)=λ1^2,λ2^2,...,λn^2中非零数的个数
=λ1,λ2,...,λn中非零数的个数
=r(a).