线性代数!跪求学霸帮忙!判断n阶矩阵可逆的充要条件!!简单题!要过程! 50
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答案是C。
首先,有这么三个定理,矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式≠0,矩阵的行列式≠0的充要条件是矩阵是满秩的,矩阵是可逆的充要条件是矩阵是满秩的。矩阵的秩等于矩阵的行秩等于矩阵的列秩,矩阵的列秩等于矩阵列向量组的秩,矩阵的行秩等于矩阵行向量组的秩,向量组的秩等于向量组的极大线性无关组中向量的个数。①看A,矩阵是n阶矩阵,列秩是n说明矩阵是满秩的。所以是充要条件。
②看B,列向量组线性无关,说明列向量组的秩是n,就是满秩,所以是充要条件。
③看C,如果有0向量,那么根据定义这个向量组一定是线性相关的,秩不是n,就不是满秩,所以矩阵不可逆,所以矩阵可逆一定没有零向量。这是矩阵可逆的必要条件。但是矩阵列向量组没有非零向量,矩阵的列向量组不一定线性无关,比如列向量组有两个相同的向量,那么矩阵的行列式等于0,此时矩阵不可逆,所以不是充分条件。
④看D,根据齐次线性方程组的解的判定定理,当且仅当系数矩阵的行列式不等于0时,方程组只有零解,这个矩阵方程可以看成若干个齐次线性方程组放在一起,这个方程组只有零解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于0,也就是矩阵可逆。所以答案是C。
首先,有这么三个定理,矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式≠0,矩阵的行列式≠0的充要条件是矩阵是满秩的,矩阵是可逆的充要条件是矩阵是满秩的。矩阵的秩等于矩阵的行秩等于矩阵的列秩,矩阵的列秩等于矩阵列向量组的秩,矩阵的行秩等于矩阵行向量组的秩,向量组的秩等于向量组的极大线性无关组中向量的个数。①看A,矩阵是n阶矩阵,列秩是n说明矩阵是满秩的。所以是充要条件。
②看B,列向量组线性无关,说明列向量组的秩是n,就是满秩,所以是充要条件。
③看C,如果有0向量,那么根据定义这个向量组一定是线性相关的,秩不是n,就不是满秩,所以矩阵不可逆,所以矩阵可逆一定没有零向量。这是矩阵可逆的必要条件。但是矩阵列向量组没有非零向量,矩阵的列向量组不一定线性无关,比如列向量组有两个相同的向量,那么矩阵的行列式等于0,此时矩阵不可逆,所以不是充分条件。
④看D,根据齐次线性方程组的解的判定定理,当且仅当系数矩阵的行列式不等于0时,方程组只有零解,这个矩阵方程可以看成若干个齐次线性方程组放在一起,这个方程组只有零解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于0,也就是矩阵可逆。所以答案是C。
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