Question

设函数为f(X)=ax2+bx+c,且f(1)=-a÷2 若a大于0，求证：函数在区间（0,2）内至少有一个零点

Answer 1

因为a>0所以二次函数的图像开口向上，又因为f(1)<0所以函数的方程有两个不同的实数根
就有b^2-4ac>0 b^2/4ac>1（1） 因为 b^2>0 a>0 所以不等式（1）要成立就有c>0
有因为f(0)=c,所以f(0)>0 因为 f(0)>0 f(1)<0所以在0与1之间有一个零点，所以函数在区间
（0,2）之间至少有一个零点。

Answer 2

a>0
f(1)=a+b+c=-a/2<0, 即b=-3a/2-c
f(0)=c
f(2)=4a+2b+c=4a+(-3a-2c)+c=a-c
若f(0)=c>0, 则f(0),f(1)异号，函数在（0，1）内至少有一个零点
若f(0)=c<=0,则 f(2)=a-c>0, 则f(0),f(2)异号，函数在（0，2）内至少有一个零点
故得证。