Question

有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距球心O的2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为R/2的

有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距球心O的2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为R/2的球体，则剩余部分对质点m的万有引力F=____。

为什么不能先算出挖去小球后的球体质量M1，再用F=GM1m/（2r）^2

Answer 1

因为挖去半径为R/2的球体(M')，M不再为均匀球体
所以应先计算F(M)，再计算F(M')
F=F(M)-F(M')
(矢量运算，但估计题意(M')在M与m连线上，其表面与球面相切，靠近m要不然就有点小麻烦，所以等效为标量运算）
F=F(M)-F(M')
=(GMm/4R^2)-GM'm/[(9/4)R^2]

密度=质量/体积
得M'=(1/8)M
代入
得
F=7GMm/36R^2

竞赛经典中类似的题
不好意思，公式不好弄
半径为r的铅球内有一半径为 的球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M 。在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力。
解析：因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点。 我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球ΔM ，然后在对于小球m对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球ΔM ，这样加入的两个小铅球对小球m的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的。
带空腔的铅球对m的引力等效于实心铅球与另一侧ΔM对m的引力之和。 设空腔铅球对m的引力为F ，实心铅球与ΔM对m的引力分别为F1 、F2。 则
F = F1－F2 ①

Answer 2

此题为质量分布不均匀的球体间的万有引力。题中由于剩余部分球体不规则，其距离无法确定，因此，应运用填补法。
实球M对m的引力F可看成两个力的合力：挖去后剩下部分对m的引力F1与半径为 的小球在原位置时对m的引力F2的合力。球为实心球时，M对m的引力为
F＝G ＝G ①
设半径 的小球的质量为M2，小球体对m的引力为F2，有
M2＝ρV2＝ ②
F2＝G ＝G ③
又因为F＝F1＋F2 ④
联立①③④，得：F／F1＝25/23