如图,在矩形ABCD中,E为AD中点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC(AB>AE)。
1.三角形AEF与三角形EFC是否相似,给出证明2.设AB:BC=K,是否存在使△AEF相似于△FBC?给出证明...
1.三角形AEF与三角形EFC是否相似,给出证明
2.设AB:BC=K,是否存在使△AEF相似于△FBC?给出证明 展开
2.设AB:BC=K,是否存在使△AEF相似于△FBC?给出证明 展开
8个回答
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1)相似
证明:延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
所以三角形AEF与三角形EFC相似
(2)由(1)得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2
证明:延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
所以三角形AEF与三角形EFC相似
(2)由(1)得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2
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解:(1)△AEF∽△ECF.证明如下:
延长FE与CD的延长线交于G,
∵E为AD的中点,AE=DE,∠AEF=∠GED,
∴Rt△AEF≌Rt△DEG.
∴EF=EG.
∵CE=CE,∠FEC=∠CEG=90°,
∴Rt△EFC≌Rt△EGC.
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC.
又∵∠A=∠FEC=90°,
∴Rt△AEF∽Rt△ECF.
(2)设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF与△BFC相似,则有两种情况:
一是∠AFE=∠BCF;则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的.
二是∠AFE=∠BFC.
根据△AEF∽△BFC,
于是:AF AE =BF BC ,即a x =b-a 2x ,得b=3a.
所以x2=ab=3a2,因此x= 3 a,
于是k=AB BC =b 2x =3a 2 3 a = 3 2 .
延长FE与CD的延长线交于G,
∵E为AD的中点,AE=DE,∠AEF=∠GED,
∴Rt△AEF≌Rt△DEG.
∴EF=EG.
∵CE=CE,∠FEC=∠CEG=90°,
∴Rt△EFC≌Rt△EGC.
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC.
又∵∠A=∠FEC=90°,
∴Rt△AEF∽Rt△ECF.
(2)设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF与△BFC相似,则有两种情况:
一是∠AFE=∠BCF;则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的.
二是∠AFE=∠BFC.
根据△AEF∽△BFC,
于是:AF AE =BF BC ,即a x =b-a 2x ,得b=3a.
所以x2=ab=3a2,因此x= 3 a,
于是k=AB BC =b 2x =3a 2 3 a = 3 2 .
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q 1)相似
证明:延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
得证
(2)
由(1)得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2
证明:延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
得证
(2)
由(1)得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2
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(1)△AEF和△EFC相似.
∵矩形ABCD,∴∠A=∠D=∠B=∠BCD=90°,且AD∥BC,
∵CE⊥EF,所以∠CEF=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,
又∵Rt△AEF,∴∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC,
∴△AEF∽△DCE,∴AECD=AFDE=EFCE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE. ∴AFAE=EFCE,即AFEF=AECE
又∵∠A=∠CEF=90°,∴△AEF∽△ECF
(2)由(1)中△AEF∽△DCE得∠AEF=∠DCE=30°.
由(1)中△AEF∽△ECF得∠AEF=∠ECF=30°
又∠BCF=∠BCD-∠DCE-∠ECF=90°-30°-30°=30°. ∴∠AEF=∠BCF.
又∵∠A=∠B,所以△AEF∽△BCF.
∵矩形ABCD,∴∠A=∠D=∠B=∠BCD=90°,且AD∥BC,
∵CE⊥EF,所以∠CEF=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,
又∵Rt△AEF,∴∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC,
∴△AEF∽△DCE,∴AECD=AFDE=EFCE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE. ∴AFAE=EFCE,即AFEF=AECE
又∵∠A=∠CEF=90°,∴△AEF∽△ECF
(2)由(1)中△AEF∽△DCE得∠AEF=∠DCE=30°.
由(1)中△AEF∽△ECF得∠AEF=∠ECF=30°
又∠BCF=∠BCD-∠DCE-∠ECF=90°-30°-30°=30°. ∴∠AEF=∠BCF.
又∵∠A=∠B,所以△AEF∽△BCF.
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