Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC（AB＞AE）。

1.三角形AEF与三角形EFC是否相似，给出证明
2.设AB:BC=K,是否存在使△AEF相似于△FBC?给出证明

Answer 1

1)相似
证明：延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
得证
（2）
由（1）得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2

Answer 2

1)相似
证明：延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
所以三角形AEF与三角形EFC相似
（2）由（1）得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2

Answer 3

解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．
（2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab，
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BFC，
于是：AF AE =BF BC ，即a x =b-a 2x ，得b=3a．
所以x2=ab=3a2，因此x= 3 a，
于是k=AB BC =b 2x =3a 2 3 a = 3 2 ．

Answer 4

q 1)相似
证明：延长FE,CD交于点P
AE=ED 角AEF=角EPD
所以直角三角形AEF和EPD全等
所以FE=EP 即EC为FP中垂线
所以角FCE=角ECD
所以直角三角形EFC相似于EDC
且直角三角形EDC相似于AEF
得证
（2）
由（1）得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2

Answer 5

（1）△AEF和△EFC相似．
∵矩形ABCD，∴∠A＝∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，且AD∥BC，
∵CE⊥EF，所以∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
又∵Rt△AEF，∴∠AEF＋∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠DEC，
∴△AEF∽△DCE，∴AECD＝AFDE＝EFCE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE． ∴AFAE＝EFCE，即AFEF＝AECE
又∵∠A＝∠CEF＝90°，∴△AEF∽△ECF
（2）由（1）中△AEF∽△DCE得∠AEF＝∠DCE＝30°．
由（1）中△AEF∽△ECF得∠AEF＝∠ECF＝30°
又∠BCF＝∠BCD－∠DCE－∠ECF＝90°－30°－30°＝30°． ∴∠AEF＝∠BCF．
又∵∠A＝∠B，所以△AEF∽△BCF．