Question

过椭圆的坐焦点F,倾斜角为45度的直线交椭圆于A.B两点,FA=3FB,求椭圆离心率?

Answer 1

设AB中点为M,A(x1,y1)B(x2,y2)
椭圆为x²/a²+y²/b²=1
由题意可知AB所在的直线为y=x+c
因FA=3FB,FA+FB=AB
则FM=AB/2-FB=AB/4
将直线代入椭圆消去y
则(a²+b²)x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0
则x1+x2=-2ca²/(a²+b²)
|x1-x2|=√(4c²a^4-4a^4c²-4a²b²c²+4a^4b+4b^4a²)/(a²+b²)
=2ab√(a²+b²-c²)=2ab²√2/（a²+b²)
AB=|x1-x2|*√2
则(y1+y2)/2=(x1+x2)/2+c=cb²/(a²+b²)
FM=√2cb²/(a²+b²)
则4ab²/(a²+b²)=4√2cb²/(a²+b²)
c/a=√2/2