Question

数学：已知数列｛an｝中，a1=1,当n>=2时，an=(根号Sn+根号Sn-1)/2

数学：已知数列｛an｝中，a1=1,当n>=2时，an=(根号Sn+根号Sn-1)/2,（1）证明数列｛根号Sn｝是一个等差数列；（2）求an （希望写出完整过程……谢谢……在线等……）

Answer 1

（1）证明：数列{根号下sn}是一个等差数列：（2）求{an}通项公式
证明：（1）当n=1时，s1=a1=1，√s1=1
当n≥2时,an=(√sn+√sn-1)/2=sn-sn-1
(√sn+√sn-1)/2=（√sn-√sn-1）(√sn+√sn-1)
∴√sn-√sn-1=1/2
∴数列{√sn}是以首项1，公差1/2的一个等差数列
（2）由（1）得：√sn=√s1+（n-1）d=1+（n-1）×1/2=（n+1）/2
sn=【（n+1）/2】²=（n+1）²/4
sn-1=（n-1+1）²/4=n²/4
当n≥2时，an=sn-sn-1=（n+1）²/4-n²/4=（2n+1）/4
当n=1时，a1=（2×1+1）/4=3/4≠1
∴当n=1时，a1=1；当n≥2时，an=（2n+1）/4

Answer 2

解：
因为an=Sn-S(n-1)
又因为an=[√Sn+√S(n-1)]/2
所以Sn-S(n-1)=[√Sn+√S(n-1)]/2
==>[√Sn-√S(n-1)][√Sn+√S(n-1)=[√Sn+√S(n-1)]/2
==>√Sn-√S(n-1)=1/2
所以√Sn
一个以1/2为公差的
等差数列
因为√S1=√a1=1
√Sn=1+(n-1)/2
==>√Sn=(n+1)/2
平方可得Sn=(n+1)(n+1)/4
an=Sn-S(n-1)=(n+1)(n+1)/4-n*n/4=(2n+1)/4
(n>=2)
把1带入an=(2n+1)/4不满足a1=1
所以
n=1时
an=1
n>1时
an=(2n+1)/4