Question

已知数列an,bn,对一切正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+..anb1=3^n+1-2n-3 （1）如果an=n,求证数列bn是等

（2）如果bn是等比数列，数列an是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项，如果不是，请说明理由。
（1），求证bn是等比数列

Answer 1

见图

Answer 2

1. an=n,
设 Sn=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+……+an-1b2+anb1, 则:
S_(n)=b_(n)+2*b_(n-1)+3*b_(n-2)+...+(n-1)*b_(2)+n*b_(1)=2^(n+1)-n-2------------------1
S_(n-1)=b_(n-1)+2*b_(n-2)+3*b_(n-3)+...+(n-2)*b(2)+(n-1)*b1=2^(n)-n-1------------------2
用式子1减去式子2, 得:
Bn=b_(n)+b_(n-1)+...+b_(1)=2^(n)-1
Bn为 数列{bn}的前n项和. 所以数列{bn}的通项为:
b_(n)=B_(n)-B_(n-1)=2^(n)-2^(n-1)=2^(n-1)
所以, 数列{bn}为首项为1,公比为2的等比数列.

Answer 3

首先an=n，所以
当n=n时，有bn+2b（n-1）+3b（n-2）+..nb1=3^（n+1）-2n-3
当把n换成n-1时，有b（n-1）+2b（n-2）+3b（n-3）+..（n-1）nb1=3^n-2（n-1）-3=3^n-2n
-1
设Tn为数列{bn}前n项和，两式相减得，Tn=bn+b（n-1）+……+b1=3^(n+1)-3^n-2
所以T（n-1）=3^n-3^（n-1）-2
所以bn=Tn-T（n-1）=2*3^（n-1）

Answer 4

n