Question

高数数列极限定义中，为什么小n一定要大于大n呢，大于又有什么作用呢？

Answer 1

例如，要证明数列an=1-1/n的极限是1，就是要证明对任意小（你想怎么小就能做到怎么小）的正数ε，总存在正数N，当n＞N时，有|an-1|＜ε，如取ε=0.1，要使|an-1|=|(1-1/n)-1|=|1/n|=1/n＜0.1，解得n＞10。所以只要取N=10，当n＞10时，就能保证|an-1|＜0.1。如果取n不大于N（即n≯10），比如让n=5，则|an-1|=|1-1/5-1|=1/5=0.2，显然0.2是不小于ε=0.1的，所以n一定要大于N，即第11项以后的各项与1的差的绝对值都小于ε=0.1。若再取一个你认为小的正数ε=0.001，可解得N=1000，当n＞1000，就能保证绝对值不等式|an-1|＜0.001成立，即数列的极限是1。
综上所述：
N是相对于你所取定的任意小的正数ε，且使绝对值不等式|an-1|＜ε成立，我们费心寻找到的（解不等式求得的）那个正数，它是一个界（或曰标杆）。有了这个界N，只要n大于N，就能保证绝对值不等式|an-1|＜ε，也才能成功证明数列an的极限是1。反之n若小于N一丁点，就不能保证所给数列的极限是1。