Question

已知方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，且两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方

Answer 1

设方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根是x1，x2
则根的判别式Δ=4(k-2)²-4(k²+4)=-16k≥0，所以k≤0
由韦达定理知：
x1+x2=-2(k-2)，x1x2=k²+4
两个实数根的平方和比两根的积大21,
则x1²+x2²-x1x2=21
则x1²+x2²+2x1x2=21+3x1x2
则(x1+x2)²=21+3(k²+4)
则4(k-2)²=21+3k²+12
则4k²-16k+16=33+3k²
则k²-16k-17=0
则(k-17)(k+1)=0
所以k=17(舍去)或k=-1
所以k=-1，
此时方程为x²-6x+5=0
则(x-1)(x-5)=0
所以两个根是x=1，x=5