Question

已知函数f（x）=√2sin（2x+π4）（1）若将函数y=f（x）的图象向左平...

已知函数f（x）=√2sin（2x+π4） （1）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点（π4，0）对称，求实数a的最小值； （2）若函数y=f（x）在[b4π，3b8π]（b∈N*）上为减函数，试求实数b的值．

Answer 1

解：（1）将函数f(x)=√2sin(2x+π4)的图象，
向左平移a个单位长度得到函数
y=√2sin[2(x+a)+π4]=√2sin(2x+2a+π4)的图象．（2分）
∵函数y=√2sin(2x+2a+π4)的图象关于点(π4，0)对称，
∴2×π4+2a+π4=kx(k∈Z)，∴a=-3π8+kπ2(k∈Z)．
∵a＞0∴k＞34．
∵k∈Z，∴当k=1时，amin=π8．（6分）
（2）∵y=√2sin(2x+π4 )
在[b4π，38bπ]（b∈N*）上为减函数，
又y=√2sin(2x+π4)的递减区间为
[kπ+π8，kπ +5π8]k∈Z，
∴kπ+π8≤b4π≤3b8π≤kπ+5π8．（8分）
∴12+4k≤ b≤53+83k．
由12+4k ≤53+83k，得k≤78．
又b∈N*，∴k只能取0．∴12＜b＜53，b=1．（12分）