Question

线性代数: 线性相关性

设a1=（6 ，x+3,3）' ,a2=(x ,2 ,-2)' ，a3=(x,1,0)',a4=(0,1,x)',当x为何值时，a1,a2,a3线性相关？当x为何值时，a1,a2,a3,a4线性相关？

Answer 1

(a3,a2,a1,a4) =
x x 6 0
1 2 x+3 1
0 -2 3 x

r1-xr2
0 -x -x^2-3x+6 -x
1 2 x+3 1
0 -2 3 x

r1*2, r3*(-1)
0 -2x -2x^2-6x+12 -2x
1 2 x+3 1
0 2 -3 -x

r1+xr3
0 0 -2x^2-9x+12 -x^2-2x
1 2 x+3 1
0 2 -3 -x

当 -2x^2-9x+12 = 0 时 a1,a2,a3线性相关.
但它在实数域无解, 故a1,a2,a3线性无关.

x取任何值a1,a2,a3,a4都线性相关.
有一结论: 向量组中向量的个数大于维数时, 向量组线性相关.

追问

谢谢

Answer 2

（a1,a2,a3)可以排成一个矩阵，
3个矢量线性相关就是这3个矢量能够相互组合，也就是说，这些矢量能够共面或共线，因此
上述矩阵行列式为0
可以得到
6 x x
x+3 2 1
x 1 0
行列式 等于
6 0 x
x+3 1 1
x 1 0
得到 x^2-(6-x(x+3))=0 x=2
故x=2 时他们相关。
三维空间中任意四个向量都相关。

追问

可以用列交换的吗？