Question

用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一矩形ABEF,把一个足够大的直角三角尺的直角顶

Answer 1

分析：

1、此题本质

此题考察的是一个直角三角形绕直角顶点D（线段AF的中点）逆时针旋转，在旋转过程中直角三角形相对于矩形的位置发生变化，位置发生变化了，但是我们会发现△DCG于△DFH全等的条件没有变。

2、方法点拨

观察、猜测结论应该是线段BG=EH。在图甲中易证△DCG≌△DFH，可得GC=HF，然后用正方形的边BC和EF分别做差就可以证出BG=EH；在图乙也是先证明△DCG≌△DFH，可得GC=HF，然后再用正方形的边BC和EF分别做和可以证出BG=EH。在这个问题中一般方法就是证明△DCG≌△DFH。

用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与点D重合，并将直角三角尺绕点D旋转.

  (1)如图①，当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE、EF相交于点G、H时，BG与EH有什么数量关系？请证明你的结论；

  (2)当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线、EF的延长线相交于点G、H时，你在(1)中得到的结论还成立吗？请在图②中画出图形，并直接写出结论.

       BG=EF

  证法一：∵四边形ABCD与CDFE是全等的正方形，

  ∴DC=DF=BC=EF，∠DCB=∠DFE=∠CDF=90°

  ∵∠GDH=90°，

  ∴∠CDG+∠CDH=90°，∠FDH+∠CDH=90°.

  ∴∠CDG=∠FDH

  ∴△CDG≌△FDH

  ∴CG=FH

  ∴BC－CG=EF－FH,即BG=EH

  证法二：证明:连接DB、DE

  ∵四边形ABCD与CDFE是全等的正方形，

  ∴DB=DE，

  ∠DBC=∠BDC=∠DEF=∠CDE=45°

  ∴∠BDE=90°.∵∠GDH=90°，

  ∴∠BDG=∠EDH=90°－∠GDE

  ∴△BDG≌△EDH

  ∴BG=EH

  (2)BE=EH

Answer 2

∵四边形ABCD与CDFE是全等的正方形，
∴DC=DF=BC=EF，∠DCB=∠DFE=∠CDF=90°
∵∠GDH=90°，
∴∠CDG+∠CDH=90°，∠FDH+∠CDH=90°.
∴∠CDG=∠FDH
∴△CDG≌△FDH
∴CG=FH
∴BC－CG=EF－FH,即BG=EH