Question

设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为sn，已知对任意n，sn是an的平方和an的等差

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的n∈N+，am与2的等差中项等于Sn与2的等比中项
（1）写出数列{an}的前3项
（2）求数列{an}的通项公式（写出推理过程）

Answer 1

(1) (an+2)/2=根号下2Sn
所以8Sn=(an+2)^2
n=1,S1=a1. 8a1=(a1+2)^2,得a1=2
n=2, 8S2=(a2+2)^2, 8(a1+a2)=(a2+2)^2, 得a2=6
n=3, 8S3=(a1+2)^2, 8(a1+a2+a3)=(a3+2)^2, 得a3=10

(2) 8Sn=(an+2)^2
当n≥2时，8S(n-1)=[a(n-1)+2]^2
两式相减得8an=(an+2)^2-[a(n-1)+2]^2
(an)^2+4an+4-[a(n-1)]^2-4a(n-1)-4=8an
(an)^2-[a(n-1)]^2-4an-4a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-4[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-4]=0
∵ {an}是正数组成的数列,∴an>0,a(n-1)>0
∴ an-a(n-1)=4
∴ {an}是等差数列，首项为a1,公差为4.
∴ an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)=4n-2