Question

平面上动点到两定点A（-1,0）B（1,0）的距离之和为定值根号2

1)求动点P的轨迹方程
2)已知直线l：y=kx+1(k=≠0)与（1）中的轨迹交于M,N两点，Q是MN中点，直线OQ的斜率为k1.
求证：k1k为定值。
3）将2推广
距离之和为定值2根号2.。。

Answer 1

AB之间的最短距离是2
所以距离之和绝不可能是根号2
距离之差是可以的
假定是距离之差
设动点为(x,y)
则√[(x+1)^2+y^2]-√[(x-1)^2+y^2]=±√2
移项，平方，化简，再平方，化简
得2x^2-2y^2=1 (1)
即为动点的轨迹方程(双曲线)
与y=kx+1的交点设为M(x1,y1) N(x2,y2)
将y=kx+1代入(1)
(2-2k)x^2-4kx-3=0
由韦达定理x1+x2=4k/(2-2k)=2k/(1-k) (2)
MN的中点坐标为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]
OQ的斜率k1=(y1+y2)/(x1+x2) (3)
由于MN在直线y=kx+1上
则y1=kx1+1 y2=kx2+1
y1+y2=k(x1+x2)+2
(y1+y2)/(x1+x2)=k+2/(x1+x2) (4)
综合(2)(3)(4)得k1=k+2(1-k)/2k=k+(1-k)/k
k1k=k^2-k+1
k为定值，则k1k即为定值
就是直线方程必须确定，否则不能成为定值。

追问

额- -。貌似输入法的符号编辑器出问题是，是2根号2.。。。

追答

设动点为(x,y)
则√[(x+1)^2+y^2]+√[(x-1)^2+y^2]=2√2
移项，平方，化简，再平方，化简
得x^2+2y^2=2 (1)
即为动点的轨迹方程(为椭圆)
与y=kx+1的交点设为M(x1,y1) N(x2,y2)
将y=kx+1代入(1)化简
(1+2k^2)x^2+4kx=0
x1+x2=-4k/(1+2k^2) (2)
MN的中点坐标为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]
OQ的斜率k1=(y1+y2)/(x1+x2) (3)
由于MN在直线y=kx+1上
则y1=kx1+1 y2=kx2+1
y1+y2=k(x1+x2)+2
(y1+y2)/(x1+x2)=k+[2/(x1+x2)] (4)
综合(2)(3)(4)得k1=k-[2(1+2k^2)/(4k)]=-1/(2k)
k1k=k*(-1/2k)=-1/2=定值
可见，对任意直线y=kx+1，只要与椭圆相交的两点，其中点与原点的直线斜率，与该直线的斜率乘积等于定值。

Answer 2

好难啊

Answer 3

传不了图

追问

这题没图，要自己做的