Question

若向量e1,向量e2是夹角为60度的两个单位向量，且向量a=向量e1,向量b=向量e1+向量e2,则向量a与向量b的夹角

若向量e1,向量e2是夹角为60度的两个单位向量，且向量a=向量e1,向量b=向量e1+向量e2,则向量a与向量b的夹角为-----

Answer 1

1.几何法

如插图，我用画图做的，很难看，请见谅

2.代数法

由已知，cos60°=e₁× e₂/| e₁| ×|e₂| =1/2

设a和b的夹角为θ，         cosθ=a×b/  /| a| ×|b|    =e₁× （e₁+ e₂）/ | e₁| ×|e₁+e₂| 

                                                             =（e₁× e₁+e₁× e₂）/   | e₁| ×|e₁+e₂| 

                                                             =( | e₁| ²+e₁× e₂)）/   | e₁| ×|e₁+e₂| 

由cos60°=e₁× e₂/| e₁| ×|e₂| =1/2   ，得  e₁× e₂=| e₁| ×|e₂| ×（1/2）=1/2

∴cosθ=（1²+1/2）/  1×|e₁+e₂| =（3/2)/ |e₁+e₂|  

|e₁+e₂|  的值为以1为棱，夹角为60°和120°的菱形的长对角线的长度（如插图），由勾股定理算得为√￣3

∴cosθ=（3/2)/ √￣3=  √￣3 /2

向量之间夹角范围是[0°, 180°] ， ∴a与b的夹角为30°

答案：  a与b的夹角为30°（两种方法答案一样，建议几何法）

Answer 2

因为向量e1,向量e2是夹角为60度的两个单位向量，所以e1的模=e2的模=1，由向量夹角公式得e1*e2=cos60=1/2
代入向量a=向量e1,向量b=向量e1+向量e2,
所以向量a与向量b的夹角为=arccos【（向量a*向量b）/（向量a的模*向量b的模）】

原式=（|e1|^2+e1*e2）/（|e1|+|e1+e2|）=（1+1/2）/（1+根号3）=（-3+3根号3）/4
所以夹角为arccos（-3+3根号3）/4