Question

平面四边形ABCD关于直线AC对称,∠A=60°,∠C=90°,CD=2。把△ABD沿BD折起,使二面角A-BD-C的余弦值=3/根号3

1，求AC
2，证明AC垂直于平面BCD
3.求AC与平面ABD所成角的余弦值

谢谢了，真的感谢。

Answer 1

平面四边形ABCD关于直线AC对称 ==》 AB=AD 、DC=CB
取BD中点P，连接CP、AP 则 AP垂直于BD、CP垂直于BD ==》角CPA即为二面角A-BD-C
由 CD=2 计算得： BD=2*根号2 BP=DP=根号2
由 ∠A=60° ,∠C=90° 计算得： AP= 根号6 CP=根号2
（注： 二面角A-BD-C的余弦值=3/根号3 不正确，疑为 1/根号3）
（1）余弦定理： AC=2
（2）因为 AC*AC+CP*CP=AP*AP ==》三角形APC为直角三角形、AC垂直于CP
因为 AB*AB=BC*BC+AC*AC ==》三角形ABC为直角三角形、AC垂直于CB
结论： AC垂直于平面BCD
(3) 有上题知，AC垂直于DB 又 DB垂直于AP
==》 角PAC即为AC与平面ABD所成角
余弦定理： AC与平面ABD所成角的余弦值=（AP*AP+AC*AC-CP*CP）/（2*AP*AC）
=2/（根号6）

Answer 2

解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，
∴cos∠AEC= 3 3 （2分）
在△ACE中，AE= 6 ， CE= 2AC2=AE2+CE2-2AE•CE•cos∠AEC
=6+2-2× 6 × 2 × 3 3 =4
∴AC=2（4分）
（Ⅱ）由AC=AD=BD=2 2 ，AC=BC=CD=2
∴AC2+BC2=AB2，AC2+CD2=AD2，
∴∠ACB=∠ACD=90°（6分）
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C∴AC⊥平面BCD．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACEBD⊂平面ABD
∴平面ACE⊥平面ABD（10分）
平面ACE∩平面ABD=AE，
作CF⊥AE交AE于F，则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，（12分）
∴sin∠CAF=sin∠CAE=CE AE = 3 3 ．（14分）