Question

函数题 最大值最小值

x,y属于R 且3x^2+2y^2=6x求x+y的最大值和最小值 要详细过程 满意的追加分数

Answer 1

3x^2+2y^2=6x
====>
(x-1)^2 + 2/3 y^2 = 1
于是可设： x-1 = sinA, 根（2/3） y = cosA.
x+y = 1+sinA + 根(3/2）cosA.
于是:
最大值: Max(x+y) = 1 + 根（1^2 + 3/2）= 1 + 根(10) / 2.
最小值: Min(x+y) = 1 - 根（1^2 + 3/2）= 1 - 根(10) / 2.

追问

如果不用三角函数有其他的方法么?

追答

方法可以各样。你想要什么方法啊。

追问

可以的话 我最想看最基础的代数方法 当然你写方法的越多越好 简单易懂的

追答

那我写个 完全不同的 解法 的思路吧：
设 z= x+y. 则 3x^2+2y^2=6x 可改写为：
3x^2+2（z-x)^2=6x
===>
5x^2 + (-4z - 6) x + 2z^2 = 0
上式可以看成关于x 的二次方程。z的取值范围 即 使得上式关于x 有解，即判别式 >= 0:
(-4z-6)^2 - 4*5*2z^2 >= 0
解这个关于 z 的不等于即可得到同样的结论。

追问

恩 恩 这个不错 还有别的方法么???在写一个简单易懂的 我给你追加10分 对了 x,y属于R 是不是就是意味着x有解啊?

追答

那你等等看 也许别人有更好的方法。

Answer 2

设 t= x+y. 则 3x^2+2y^2=6x 可改写为：
3x^2+2（t-x)^2=6x
5x^2 + (-4t - 6) x + 2t^2 = 0
上式可以看成关于x 的二次方程,因为x属于R，所以这个方程必然有解，所以判别式 >= 0:
(-4t-6)^2 - 4*5*2t^2 >= 0
解这个关于t的不等于即可。

Answer 3

【注】不妨试试“柯西不等式”。【2】解：易知，题中的条件等式可化为：3(x-1)²+2y²=3.由题设及“柯西不等式”可得：5/2=(5/6)×3=[(1/3)+(1/2)]×[3(x-1)²+2y²]≥[(x-1)+y]²,即恒有(x+y-1)²≤5/2.∴|x+y-1|≤(√10)/2.===>-(√10)/2≤x+y-1≤(√10)/2.===>(2-√10)/2≤x+y≤(2+√10)/2.∴(x+y)max=(2+√10)/2.（x+y)min=(2-√10)/2.

Answer 4

解：原方程化为(x-1)^2 + 2/3 y^2 = 1
设Z=x+y,求Z的最值即求直线y=-x+Z的纵截距的最值。
根据简图可知，当直线和椭圆相切的两处，Z有最值，
解方程组(x-1)^2 + 2/3 y^2 = 1
y=-x+Z
有5/3 x^2-(2+4/3 z)x+2/3 z^2=0 -------当判别式（2+4/3 z)^2 -4X5/3X2/3 z^2=0
即2Z^2-4z-3=0 解得最大值:=1 + 根号(10) / 2.
最小值= 1 - 根号(10) / 2.
不知满意不？