Question

若函数在一点可导 那么是否存在某邻域使得该函数一定可导/连续？ （注意这里有2个要证明）

有人这么回答：不成立，例如y=绝对值x，在x=0是不可导，但是其邻域的其他点可导,同理在x属于（0，E），e 为大于0任意值，y可导，但是在x=0处不可导
但是若 y=x的绝对值 在其上任取一可导点 则必然存在一邻域在其内处处可导
请指教！

Answer 1

可导是局部性质，必然存在连续的邻域，不必然存在可导的邻域。
你觉得举例困难是因为一般你遇到的函数都是连续无限阶可导的。
我只能类比连续给你举个类似的例子：黎曼函数，所有无理数取值为0，有理数p/q（pq互素），取值1/q，这个函数在所有无理点连续，有理点不连续。所以对于任意无理点，不存在邻域使得邻域内点都连续（即任何邻域内都包括有理点）。

Answer 2

若 y=x的绝对值,并且其上任取一可导点,那么令这个点为a，则有a不等于0，所以取a的领域
(a-a/2,a+a/2)可以知道在该区间上不包括0点。并且符号相同。因此若a>0，则在
(a-a/2,a+a/2)上y=x，若a<0,则y=-x，所以不论什么情况y在(a-a/2,a+a/2)上都处处可导。

Answer 3

一点可导当然不一定蕴含其它点连续! 更谈不上其它点可导了.

比如 f 在有理点为0, 在无理点等于 x^2 (即x的平方),
则此函数在0点连续并且可导, 导数为0.
但除此点之外, 均不连续.

Answer 4

若函数在一点可导 ,存在某邻域使得该函数一定可导