Question

已知:在三角形ABC中,角ACB为锐角,D是射线BC上的一动点(D与C不重合),以AD为一边向右侧作等边三角形(C与E不

合),连接CE
若三角形ABC不是等边三角形,且BC>AC,<AC=60°，试探索当D在线段BC上时<BCE的度数，说明理由。
以AD为一边向右侧作等边三角形ADE <ACB=60°

Answer 1

您提问的原题应该是这样的吧：

已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上的一动点(D与C不重合)，以AD为一边向右侧作等边三角形ADE(C与E不重合)，连接CE。
(1) 若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，则直线BD与直线CE所夹锐角α为____。
(2) 若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时，你在(1)中得到的结论是否仍然成立? 请说明理由。
(3) 若△ABC不是等边三角形、且BC > AC，试探究当点D 在线段BC上时，你在(1)中得到的结论是否仍然成立? 若成立，请说明理由；若不成立，请指出当∠ABC 满足什么条件时，能使(1)中的结论成立，并说明理由。

解：(1) 若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，
直线BD与直线CE所夹锐角α为 60°
具体到您的提问，
此时 ∠BCE = 120°

(2) 若△ABC为等边三角形，
当点D在线段BC的延长线上时，
(1)中得到的结论成立 。理由如下：
容易证得：△ABD ≌ △ACE （SAS）
∴ ∠ACE = ∠B = 60°
∴ ∠BCE = ∠ACE + ∠ACB
= 60° + 60°
= 120°
∴ 在(1)中得到的结论成立 。
具体到您的提问，
此时 ∠BCE = 120°

(3) 若△ABC不是等边三角形、
且BC > AC，当点D 在线段BC上时，
(1)中得到的结论不成立 。

当∠ACB=60°时，能使(1)中的结论成立。

具体到您的提问，
若△ABC不是等边三角形，且BC > AC，∠ACB=60°，
试探索当D在线段BC上时∠BCE的度数，说明理由。

此时 ∠BCE = 120° 或 60°。理由如下：

① ∠BCE = 120° 的来历：
此情形下，所作的等边△ADE 全在直线BD的上方。
（即：点D 距离点C 很近）

设 DE 与 AC 交于 点F，

在 △AFE 和 △DFC 中，

∠AFE = ∠DFC （对顶角）
∠AEF = ∠DCF = ∠BCA = 60° （已知）

∴△AFE ∽ △DFC

∴ AF ：DF = EF ：CF

即：AF ：EF = DF ：CF

在 △AFD 和 △EFC 中，
AF ：EF = DF ：CF （已证）
∠AFD = ∠EFC
∴ △AFD ∽ △EFC

∴ ∠ECF = ∠ADF = ∠ADE = 60°

∴ ∠BCE = ∠BCA + ∠ECF
= 60° + 60°
= 120°

② ∠BCE = 60° 的来历：
此情形下，
所作的等边△ADE 有一部分在直线BD的下方，
（ 即：点D 距离点B 很近）

设 DE 与 AC 交于 点N，

在 △ANC 和 △DNE 中，

∠ANC = ∠DNE （对顶角）
∠ACN = ∠DEN = ∠DEA = 60° （已知）

∴△ANC ∽ △DNE
∴ AN ：DN = NC ：NE

即：AN ：CN = DN ：NE

在 △AND 和 △CNE 中，

AN ：CN = DN ：NE （已证）
∠AND = ∠CNE

∴ △AND ∽ △CNE

∴ ∠ECN = ∠DAN = ∠DAE = 60°

即：∠BCE = 60°

解后评析：
① 该类题在2009年的网页上颇为盛行，但细致、完美的解答寥若晨星，而且还有一 种怪现象：提问者眼睁睁不采纳正确解答、反而采纳错误的解答；

② 如果题设改为 “以AD为一边向右侧作正方形ADEF”，敬请提问者一并探究。

Answer 2

：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．
（2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．

（3）补全图形如下图：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．

Answer 3

你的题目缺少一点条件，比如说：E是什么点，最好还能把图画一下，这样答起来方便很多。补充一下，我再来